摘要：本文介绍了两类二阶线性微分方程的解法，并给出例子验证结论。
关键词：变系数;微分方程;通解
1.预备知识
考虑二阶非齐次线性微分方程[1-4]
y″+p（x）y′+q（x）y=f（x）（1）
（其中p（x），q（x），f（x）是关于x的未知函数）的解;若f（x）=0，则该方程为齐次微分方程
y″+p（x）y′+q（x）y=0.（2）
特解：若y0满足方程y″+p（x）y′+q（x）y=0，则称y0是该方程的一个特解。
下面给出两类二阶线性微分方程的解法。
2.主要定理及结论
2.1类型一
对于方程（2），当它可以表示为
的形式时，可以通过欧拉变换化为常系数微分方程，进而可以求出其通解。
事实上，引进自变量的变换：x=et，t=lnx
直接计算得到
dydx=dydt・dtdx=e-tdydt，d2ydx2=e-tddt（e-tdydt）=e-2t（d2ydt2-dydt）。
代入方程（3）得到
从而可以求出此方程的通解，再代回原来的变量就可求得原方程的通解。
解 该方程对应的齐次微分方程为
3x2y″-xy′+y=0，（4）
设方程（4）的一个非零解为y=xλ，代入方程（4）得
解得
设原方程的一个特解为y=bx2， 代原方程有
3x2b・2-xb・2x+bx2=x2
2.2类型二
对于一些二阶方程，当它的系数满足一些条件时，可以化二阶方程为一阶方程，进而求解。
证明 对于方程y″+p（x）y′+q（x）y=0，若p′（x）=q（x），则原方程可化为
（y′+p（x）y）′=0，
积分求得
y′+p（x）y=c。
利用常数变易法求得该方程的通解为
解得
c1′（x）=1
c2′（x）=ex（1-x），
积分求得
c1（x）=x+u1
c2（x）=（2-x）ex+u2，
参考文献：
[1]罗亚平， 陈仲.微分方程[M ]. 南京： 南京大学出版社， 1987
[2]朱思铭，王寿松.常微分方程第三版[M].北京：高等教育出版社，2007
[3]张敬，齐秀丽， 二阶变系数线性微分方程的几个可积类型[J] . 高师理科学刊， 2005（3）.
[4]李鸿祥. 两类二阶变系数线性微分方程的求解[J]. 高等数学研究，2002，5（02）：10-13.
