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摘 要 本文总结了广谱哲学对离散数学的分析和应用的大量事例，提出了广谱哲学对离散数学的三个基本视角，即哲学对象的视角、动态流变的视角和反面转化的视角。文中围绕这三个视角，结合离散数学的例子做了具体的剖析和论证。本文对于应用广谱哲学的思想方法，开发和推广离散数学的模式，对于哲学和社会科学的数学化，均具有一定的参考价值。
关键词 广谱哲学 离散数学 新视角
从一定的意义上说，广谱哲学的数学基础是离散数学，包括集合论、近世代数、图论、形式语言、自动机理论、范畴与函子理论等，但它又不是离散数学的简单应用，而是根据哲学的性质和特点，从新的视角对离散数学进行了深入的挖掘、拓展、赋予新的含义乃至于做了部分新的改造和制作，因而使离散数学具有了许多新质的特征。本文只从三个方面予以探讨。
一、哲学对象的视角：在离散数学的基本概念前加上“哲学对象的”定语，以此显化和模拟单纯数学观点下掩盖的哲学机理。
单纯数学的观点是把离散数学的概念、模型和方法看成是纯数学的对象，它们从数学的例子中抽象出来，再回到数学的例子中去。例如集合的概念从数学对象（如各种数系、无穷大量等）中抽象出来，集合的研究（集合的基数、势、幂、运算等）又回到这些对象中去。又如代数结构乃至于一般数学结构的概念起源于数学的对象（如代数方程可解性研究、数系封闭性研究、次序关系研究等），又回到这些对象中去。因此在一系列数学概念，如集合、关系、映射、 结构、状态等等之前是暗中加上了“作为数学对象的”定语的，这至少是离散数学研究的主流，正如人们公认的“集合论是全部数学的基础一样。尽管一些离散数学教科书为了通俗解释的必要，也偶尔列举个别非数学对象的例子，以说明某些离散数学的基本概念，但从来没有把这些基本概念当作具有一般事物机理意义的概念，更没有把它们看作是适用于哲学对象的概念。
应该肯定，这种做法从纯数学的角度上看没有什么错。但从另一个角度上看，能够作为“全部数学基础”的东西一定隐藏着比全部数学对象的内容更高一级的东西、能容纳更广泛的内容。这在逻辑上没有什么问题，一般来源于特殊，但一般决不等于各个特殊的简单求和。因此，从单纯数学的观点看待离散数学的基本概念隐藏着一个危险，即有可能限制了这些基本概念的应用范围，掩盖了可能容纳的广泛内容。广谱哲学正是从这样的角度来看待离散数学的基本概念的。
在广谱哲学的视野中，离散数学的基本概念，像集合、集合间的各种关系、性质（等价、半等价等），抽象的直积空间、映射、多元关系、结构、同态、同构等是适合于哲学对象的，即适合于描述任意的事物和一般事物机理的，而且经过某种改造或转化，可以用来描述辩证的机制（辩证的矛盾、对立面的转化、量变与质变等等）
例如，相交的运算不仅可以获得两个事物集中共同拥有的事物，而且当A和B是代表事物的不同性质类时，
就是事物
从一种性质类到另一种性质类转化时的过渡区。由此自然知道，若事物由
变到
，且
（空集），则意味着某一事物在运动变化过程中发生了性质上的转变（质变）。
又如，在广谱哲学的视野中，映射
不仅是像源集
与像集
的单值对应，而且可以表示认识论意义上的主体对客体的反映（反映方式是
）及能动反映（取决于
的多种形式及其选择）过程，这时由该映射诱导的等价关系
（通常定义为
所导致的双射
便可模拟人们从“观察窗口”
（其中
）反向单值地观察到子集
的过程。而由所有的观察方式
做成的集合
不仅反映了人们对事物的认识存在许多的观察、控制模式，而且可以据此引出对哲学本体论、哲学认识论等极有创新价值的多叶客观性定理。
应该指出，在离散数学的基本概念前加上“哲学对象”的定语，并不是广谱哲学的硬性指派或“强词夺理”，根源在于离散数学（至少其基础理论部分）已经抽象到这样的高度，以至于只要满足几条“公理”便可以“填进”任何内容。这正如中国古典诗词“格律体”一样，满足它们的平仄规则和对仗等规定便可以“填词”。，诚如大数学家希尔伯特所说“可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”，这正是现代公理化、形式化方法潜在的巨大威力。广谱哲学不过是在形式化方法下的一般数学形式中找回与它相应的一般哲学内容罢了。如果离散数学本身没有抽象到这样的高度，而是像传统数学那样以纯粹的数量关系和直观的空间形式为对象（如解析几何、微积分、线性代数、数理方程等），那是无论如何都不能冠以“哲学对象”的定语的。
还应该指出的是，由于离散数学在公理化、形式化意义上的抽象性，使它在人文社会科学领域也得到了越来越多的应用和渗透，例如在经济学、心理学等领域。但后者与广谱哲学的视角不同，它们只是按照从一般到特殊的逻辑去论证与整理各学科的材料，而没有在“哲学对象”的层面上去理解离散数学的基本概念，没有把这些数学对象看成是与哲学机理相应相称的对象，更谈不到依据哲学的性质和特点去改进它们。
最后，广谱哲学对离散数学的基本概念之所以持有“哲学对象”的视角,也是唯物主义原则的一种应用。唯物主义认为任何观念的东西(数学概念亦不例外)不外是客观存在的反映。因此，广谱哲学极力追寻数学概念背后隐藏的一般事物机理就是毫不奇怪的了。
二、动态流变的视角：引入真实的时间变量，在流变中考察离散数学的基本概念，使固定的、静态的数学框架成为流动的、变化的框架。
离散数学一般不研究客观世界的演变过程，它是从静态结构的角度刻划各类研究对象。例如，集合这个概念就是一个相对静态的、既存事物的整体，通常记为
（当
从1到无穷时，
便是无穷集合）。尽管这里的“既存事物”
除了现存事物外，还可以包括按一定必然性将要出现的事物（例如，
是星球演化诸阶段各种形态的全体组成的集合，或
是按一定概率出现的事件全体的集合），但一旦成为集合，它就把一个动态对象变成了一个静态的对象，或者把过程变为一个个离散的结果。
又如，半序结构（
≤），其中半序关系“≤”满足自返性、反对称性和传递性，这里没有引入时间、环境等可变因素，那么，一种半序结构形成之后不再发生变化了吗？例如雇佣关系、控制关系、领导与被领导关系等都是半序结构，那么，这些关系是凝固不变的吗？显然不是，现实的客观世界是处处流变的，是按时间之矢展开为一个过程的。因此，广谱哲学在诸多基本数学概念中引入了时间概念，以描述各种集合、关系和结构的变化过程。
举个简单而富有启发性的例子。人们知道，等价关系
是满足自返性、对称性和传递性的序偶的集合，用等价关系可以对任何事物集
进行分类
，其中
。为了描述等价关系对于研究事物流变的意义，广谱哲学引入了时间参量，提出了自等价的概念。所谓自等价就是自我等价，即在时间的推移中事物自己与自己等价。也就是说，随着时间的推移，一个对象事物可以经历种种变化，但可能有某些基本的性态（如性质、状态、结构、序关系等）保持不变，这时就称该事物相对于这些性态是自等价的。用数学形式表示，就是考虑事物的变域
（
为时间参量集），
为变域
上的某种等价关系，若在
的某个区间
内，
就称事物
对于
是自等价的。由于这种自等价性反映了事物在流变中的稳定性，因而又可引出
—自稳性等概念，由此可导出一系列用于研究事物、系统演化的重要结论。
广谱哲学对于离散数学中的自同构、自同态等概念也有类似的理解（它们可以看成是自等价概念的特殊情形）。例如，自同构是事物系统在时间推移中广义结构的不变性，而自同态则是事物系统在时间推移中基本特征的不变性。这些概念都可以成为观察、描述和分析任意对象事物的演化、稳定与控制问题的有力工具。例如，无论是资本主义国家还是社会主义国家、统治阶级对起主导作用的基本经济制度、基本政治制度、基本意识形态等都力图保持其稳定性，如果把它们抽象为一定的主序结构，那么，这就是一个主序结构的自同构或自同态问题。
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显然，广谱哲学在离散数学的基本概念中引入时间参量，不是从纯数学的角度考虑的，而是从真实的客观世界的实际中考虑的，也是辩证法和辩证逻辑的一个必然要求。例如，在这一视角下，像上面所谈的等价性、同构性、同态性就不仅仅反映了不同事物之间的有差异的同一性，而且反映了同一事物在前后相继的状态改变中流变的同一性。熟悉列宁《哲学笔记》的读者应该知道，这是辩证逻辑的一个极好的应用例证。
三、反面转化的视角：显化或引入一定的数学程序，使不同的集合、关系和结构互相转化。
从广谱哲学的观点上看，离散数学中的一些重要概念和关系已经涉及到了“向对立面的转化”或“向自己的反面的转化”，只是传统的数学观没有这样看问题，具有不自觉性。例如，反序同构的概念，事实上是通过同构对应这一条件,实现了序与反序的对立面转化。如果把序关系理解为一种广泛存在于客观世界中的反对称关系，诸如统治关系、专政关系、矛盾的主次关系等等，那么,序与反序的转化就意味着事物性质的蜕变，是一事物向他事物的转化，因而是事物质变的一种典型形式。从这一观点看问题，则自对偶同构的概念就意味着同一事物在流变过程中自己向自己的对立面转化。例如，前苏联和东欧社会主义国家蜕变为资本主义国家，不管具体原因和内外条件如何，其实质都是主导序（统治与被统治，专政与被专政等）的自对偶同构，是社会主义国家向着自己的对立面——资本主义国家的转化。
广谱哲学的反面转化观点，不仅揭示了离散数学中一系列的对立统一关系(类似的有反序同态、自对偶同态、商集的内外转化等等)，而且开发了若干新的转化形式，诸如广谱演化论的同类变与异类变，广谱阴阳论的阴阳主序互转等等。这里我们只考察一个极简单的关系转化的例子，以了解广谱哲学令人惊奇的思维方式。
人们知道，集合的属于关系和包含关系是两种最基本、最简单的关系，但性质不同。属于关系
是元素
对集合
的关系，而包含关系
是子集
对母集
的部分对整体的关系。在广谱哲学看来，若
表示
a
是区域中的一个点子，这时点子
相对于区域
而言相当于一个黑箱，即点子内部的信息是屏蔽的。但表达式
表示
是
A
的一个子集，表明有可分辨的结构，相当于
是白箱或灰箱。譬如若
A
是一个平面区域，则是平面上的部分区域。这样一来，一个对象事物
对于某一集合是属于关系还是包含关系就转化为人们视野中的黑箱和白箱（或灰箱）的关系，因而具有了对立面的性质。这样一种奇特的视角自然会引发这两种关系如何发生对立面转化的新思路。
不难设想，如果有某种机制
，使
，则表示
是对
的某种白箱化或灰箱化，使
由不可观测（内部信息）变为可观测（部分信息）。反之，若有另一种机制
，使
，则表示
是对A的黑箱化、“点子”化，使
a
由可观测变为不可观测。举个通俗的例子，假定是某一个大城市的建筑布局，
表示这个城市的一部分（部分建筑布局或一个区域），则P-1是表示飞机上升到足够的高度后乘客对
的大范围投影，这时
，即该城市（
）被充分缩小（
），而该城市的一部分
被龟缩成该城市的一个点子
。反之，若
P
是表示飞机下降到足够的高度后乘客对的观察，则
，即该城市（
）被充分放大（
），而其中的一个“点子”
被放大成该城市的一个区域
。
显然，在这里关键是转化条件（机制
或
）如何数学地构造出来。对不同的问题，p或p-1有不同的表现形式。在广谱哲学中，从不同的观察水平上探讨“有”与“无”的相互转化，可观性与不可观性的互相转化等，都属于上面思路的具体应用。
综上所述，广谱哲学对离散数学的新视角，不仅使我们对离散数学的理解大大超出了纯数学的范围（已扩展到一般事物机理和哲学对象的范围），而且也使我们对离散数学的理解超出了静态的结构分析的范围，即使我们能够从动态流变的、辩证转化的角度深化和拓展离散数学框架的意义，从而在一定的意义上，促使离散数学成为适用于充分广泛知识谱系（包括哲学谱系）的、具有“无限变化玄机”的数学模式。当然，本文的分析还仅仅是初步的，但我们相信，广谱哲学的这种新的研究方式，将为开发离散数学、对离散数学在更大范围内的应用打开一个新的局面。
参 考 文 献
[1]张玉祥，关于广义数学观的探索，《华北水利水电学院学报》（自然版），1994年第1期。
[2]张玉祥《广谱哲学探索》，中国经济出版社，1998年版。
[3]高新亚，浅谈广谱哲学的类变思想，《高校社会科学论丛》，今日中国出版社，1998年。
（本文载张放涛主编《社科论丛》，中国致公出版社，2001年）
