函数是高中数学的主线,而导数是研究函数的重要有力工具,对导数的考查是各地历年高考的“不动点”. 主要从以下三个方面进行考查:一是考查导数的运算与导数的几何意义,二是考查导数的简单应用(例如求函数的单调区间、极值与最值等),三是考查导数的综合应用.通过对2014年各地高考试题分析,本文对导数的热点题型加以盘点,以期对大家有所帮助.
导数的运算和几何意义
1. 导数运算
点拨 导数的计算是利用导数研究函数的第一步,一定要计算正确.在平时的学习过程中,大家要牢记初等基本函数的导数以及导数的运算法则,对比较复杂的函数求导,遵循先化简再求导的基本原则.
2. 导数几何意义――切线相关问题
例2 如图所示,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )
C.[ y=14x3-x]
所以[c=-1],[3a+b=1].
又[y=ax3+bx2+cx]过点[(2,0)],
答案 A
点拨 函数[f(x)]在[x=x0]处的导数[f(x0)]的几何意义是曲线[y=f(x)]在点[(x0,fx0)]处的切线的斜率.本题的关键是要抓住在点[(0,0),(2,0)]处直线与曲线相切这两个条件.
利用导数求函数的单调区间
例3 设函数[f(x)=alnx+x-1x+1],其中[a]为常数. 讨论函数[f(x)]的单调性.
解析 函数[f(x)]的定义域为[(0,+∞)].
(1)当[a≥0]时,[f(x)0],函数[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递增.
(2)当[a0]时,令[g(x)=ax2+(2a+2)x+a],
由于[Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1)],
②当[a-12]时,[Δ0],[g(x)0],[f(x)0],函数[f(x)]在[(0,+∞)]上单调递减.
③当[-120]时,[Δ0].
所以,[x∈(0,x1)]时,[g(x)0],[f(x)0].
[x∈(x2,+∞)]时,[g(x)0],[f(x)0.]
利用导数求函数的极值、最值
解析 依题意得[x≤12].
由[f(x)=0]得,[x=-2]或[x=0].
所以当[x∈(-∞,-2)]时,[f(x)0],[f(x)]单调递减. 当[x∈(-2,0)]时,[f(x)0],[f(x)]单调递增.
当[x∈(0,12)]时,[f(x)0],[f(x)]单调递减.
故[f(x)]在[x=-2]处取得极小值[f(-2)=0],在[x=0]处取得极大值[f(0)=4].
点拨 求函数的极值应先确定函数的定义域,再解方程[f(x)=0],判断[f(x)=0]的根[x0]是否是极值点,即看[x0]左右两边的单调性是否发生了改变.
利用导数求参数的范围
1. 已知函数单调性求参数的取值范围
例5 若函数[f(x)=kx-lnx]在区间[(1,+∞)]上单调递增,则[k]的取值范围是( )
A. [(-∞,-2]] B. [(-∞,-1]]
C. [[2,+∞)] D. [[1,+∞)]
解析 [f(x)=k-1x=kx-1x],且[x0],
由题意可知,[f(x)≥0],即[kx-1≥0],即[x≥1k(k0]时不满足[)].
因为函数[f(x)]在区间[(1,+∞)]上单调递增,
所以[1k≤1],解得[k≥1].
答案 D
点拨 可导函数在某一区间[I]上单调,就是不等式[f(x)≥0]或[f(x)≤0]的解集包含[I],也就是在区间[I]上[f(x)≥0]或[f(x)≤0](有限个点取等号)恒成立.
2. 恒成立问题求参数的范围
A. [[-5,-3]] B. [[-6,-98]]
C. [[-6,-2]] D. [[-4,-3]]
令[f(x)=x2-4x-3x3(-2≤x0)],
则[f(x)=-x2+8x+9x4=-(x-9)(x+1)x4],
(2)当[x=0]时,不等式恒成立.
综上,[-6≤a≤-2].
答案 C
点拨 若[f(x)]在区间[I]上存在最值,则[?x∈I,][ f(x)≤a]恒成立[?f(x)max≤a];[?x∈I],[f(x)≥a]恒成立[?f(x)min≥a].
3. 存在问题求参数的范围
解析 [f(x)]的定义域为[(0,+∞)],
[f(x)=ax+(1-a)x-1=1-ax(x-a1-a)(x-1)].
故当[x∈(1,+∞)]时,[f(x)0],[f(x)]在[(1,+∞)]上单调递增.
解得[-2-12-1].
(2)若[121],则[a1-a1],
故当[x∈(1,a1-a)]时,[f(x)当[x∈(a1-a,+∞)]时,[f(x)0].
[f(x)]在[(1,a1-a)]上单调递减,在[(a1-a,+∞)]上单调递增.
所以存在[x0≥1]使得[f(x0)a1-a]成立的充要条件为[f(a1-a)aa-1].
点拨 若[f(x)]在区间[I]上有最值,则[?x0∈I],使得[f(x0)][≤a][?f(x)min≤a];[?x0∈I],使得[f(x0)≥a][?f(x)max≤a].
4. 导数与相关知识交汇
例8 函数[f(x)=ln(x+1)-axx+a(a1)].讨论[f(x)]的单调性.
若[x∈(a2-2a,0)],则[f(x)0],[f(x)]在[(a2-2a,0)]上是减函数.
若[x∈(0,+∞)],则[f(x)0],所以[f(x)]在[(0,+∞)]上是增函数.
(2)当[a=2]时,[f(x)≥0]恒成立(当且仅当[x]=0取等号),
所以[f(x)]在[(-1,+∞)]上是增函数.
(3)当[a2]时,
若[x∈(-1,0)],则[f(x)0],[f(x)]在[(-1,0)]上是增函数.
若[x∈(0,a2-2a)],则[f(x)0],[f(x)]在[(0,a2-2a)]上是减函数.
若[x∈(a2-2a,+∞)],则[f(x)0],[f(x)]在[(a2-2a,+∞)]上是增函数.
点拨 导数的工具性注定了高考命题者会在知识交汇处(如和函数、不等式、方程、数列及归纳法等交汇)以压轴题的形式进行考查. 在平时学习中,我们既要抬头看路(关注高考的动向),又要埋头拉车(重视基础,脚踏实地),争取达到最好的学习效果.