2016年安徽中考数学卷压轴题的解题方法指导 几何证明的主要方法有综合法和分析法。综合法是指由因导果，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决；分析法是指執果索因，从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实或命题条件为止。而在实际解题过程中，往往要将这两种方法结合起来综合运用。下面就以2016年安徽中考数学卷压轴题解题指导为例，谈谈如何有效求解几何证明题。
一、原题呈现
（2016安徽）如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点。
（1）求证：△PCE≌△EDQ；
（2）延长PC，QD交于点R。
①如图1，若MON=150，求证：△ABR为等边三角形；
②如图3，若△ARB∽△PEQ，求MON大小和■的值。
二、解题指导
在解决几何问题时，审题尤为重要。读题时，要能将已知条件融于图形中，了解图形的建构过程，然后从复杂的图形中抽象出简单的几何模型。本题的条件较为简单，但图形结构比较复杂。分析已知条件：根据△OAP、△OBQ为等腰直角三角形，点C、D分别是OA、OB的中点，我们可以从图形中得到由等腰直角三角形及底边中线构成的第一个简单几何模型。在这一模型中，有我们熟悉的等腰三角形三线合一及直角三角形斜边上中线等于斜边一半两个重要的定理。由此，可得出：PC垂直平分OA；QD垂直平分OB；PC=■OA；QD=■OB等结论。此外，根据点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点这一条件，我们可从图形中得到由三角形的中位线构造的平行四边形模型。在这一模型中，有我们熟识的中位线定理及平行四边形的有关性质。由此，可得出：CE∥■OB；DE∥■OA及平行四边形CODE的有关性质。审题至此，问题（1）求证：△PCE≌△EDQ的求解便水到渠成。
三、解题反思
几何问题的解决，要求学生必须在牢固掌握概念、法则、定理的几何图形基础上，能准确运用几何语言表达出来。在具体的解题过程中，能从复杂的几何图形中抽象出简单基本的几何模型，进而丰富已知条件，为利用综合法解决问题提供保证。
问题（2）的第①问求证：△ABR为等边三角形，可从分析法入手。证明一个三角形为等边三角形，常用方法有四种：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角为60的三角形是等边三角形；有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。结合问题（1）的证明过程，认识到直线PR、QR分别为线段OA、OB的中垂线。此时，联想到中垂线的性质定理，可尝试连接RO，简单推理后，可得到RA=RB。接下来，结合本题补充条件MON=150，解决问题的的思路便基本明确。接下来，需要在等腰△ABR中寻找出一个60的角。当我们将已知角（包括垂直产生的角）在图中逐一标注后，便能发现一个四边形RCOD，它的四个内角中已知三个内角，由此可得，CRD=30。在此基础上，说明ARB=60时，图形中包含一个有关角平分线定义的典例模型：在ARB内部引一条射线RO，分别作ARO与BRO的角平分线。至此，便可证得△ABR为等边三角形。
问题解决的突破口在于辅助线RO的连接。在几何问题的解决过程中，往往会遇到不完整的定理模型，此时需要根据定理的内容添加一些必要的辅助线。此外，解题时，还要注意补充条件的价值。补充条件往往对于问题的解决具有很强的指向性，这可以让我们在解决问题时，少走弯路。另外，在平时的习题演练中，对于一些典例模型的熟悉和掌握也是必要的。
接下来探究第②个问题时，一上来很难找到头绪。在第3幅图中，当△ARB∽△PEQ时，两个三角形都像是等腰直角三角形。回头观察第2幅图，当我们尝试连接PQ，会发现△PEQ依然保持直角三角形的形状。在第1幅图中，PEQ任保持直角形状。此时，经过推理，可得出PEQ恒为直角的结论。这时，通过前面问题的解决，想到MON大小可以通过180CRD得到，而CRD又等于ARB的一半。至此，MON的度数便可迎刃而解。通过这一问题的解决，我们可从图中发现两个全新的Rt△：Rt△APB和Rt△AQB，并且PE、QE分别为两直角三角形斜边上的中线，由此可得，AB=2QE。在等腰直角三角形PEQ中，PQ=■QE。至此，便可求出■的值。
我们在平时练习时，当解完一个几何综合题后，还要做进一步探究：解决问题的关键点是什么，图形中包含有哪些简单几何模型，解题时用到了哪些定理，图形中还可以寻找出哪些结论，问题还可以怎样进行延伸。学无止境中有法。这样的解题反思，可以让我们熟悉一般问题的建构过程，掌握解决常见问题的基本策略，从而提高我们的解题能力。
（作者单位：安徽省宁国市汪溪初中 242300）
